Filtros IIR y FIR

Los filtros IIR (Infinite Impulse Response) como su nombre lo indica tienen respuestas impulso de longitud infinita; por el contrario, los filtros FIR (Finite Impulse Response) tienen respuestas impulso finitas. La clave para esta diferenciación, y la razón detrás de poder generar una salida de longitud infinita al excitar un sistema con un impulso, reside principalmente en una estructura de retroalimentación. La única manera de que una respuesta impulso se extienda por un tiempo infinito es que de alguna manera la salida del sistema sea conectada al mismo sistema para generar una recursión en donde, en cada nuevo instante, la salida esté determinada por la o las salidas previas.

En general, los filtros digitales se construyen con dos bloques elementales: Los retrasos y las ganancias. Estos dos elementos se conjugan en ingeniosas estructuras para generar efectos deseables en el dominio de la frecuencia. Este proceso se puede llevar a cabo de miles de formas diferentes. Hay estrategias muy variadas y ciertamente interesantes para diseñar estos filtros; sin embargo, en este artículo, sólo nos compete entender la diferencia entre estas dos grandes categorías FIR vs IIR.

FIR

Comencemos por los filtros FIR, que aunque parecen un poco menos comunes, creo que son más intuitivos en su estructura. La base de los filtros FIR consiste en conectar la entrada del filtro a una serie de retardos. El primero con sólo una muestra de retraso, el segundo con dos, el tercero con tres y así sucesivamente. En seguida se amplifica o atenúa cada retraso con un factor de ganancia específico y finalmente se suman las salidas. Al organizar estas ganancias una detrás de otra obtenemos la respuesta impulso del filtro. Además por lo que la estructura es análoga a una línea de retrasos con múltiples salidas (Delay tapped line), solemos hablar de "Taps" que en realidad sólo son los factores de ganancias, coeficientes del filtro o valores de la respuesta impulso. Así de sencillo es un filtro FIR. La siguiente animación muestra ese proceso y, en particular, cómo los factores de ganancia del filtro son equivalentes a los coeficientes de la respuesta impulso.
IIR

Un filtro IIR, además de utilizar retrasos para los valores a la entrada del filtro, toma también los valores de la salida, les aplica una nueva cadena de retrasos y retroalimenta esta señal a la entrada del filtro. Este elemento adicional permite la obtención de funciones de transferencia "interesantes" sin requerir una gran cantidad de elementos. Entender cómo se logran estas funciones de transferencia, tanto en el caso los filtros FIR y los IIR, es un proceso nada sencillo que se logra a través de la solución de ecuaciones de diferencias (sumas y restas de entradas y salidas con retrasos) por medio de la transformada-Z (una "versión discreta" de la transformada de Laplace). Quizás en un artículo futuro podríamos explorar estos detalles. La siguiente animación muestra este proceso. Noten que la respuesta impulso dura muchas muestras más que la cantidad de retrasos que existen en el sistema.